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Calculs d'incertitudes
Première approche
 		Une autre approche sur un recto-verso
qui propose des méthodes applicables
du collège au supérieur.

    Nous voulons mesurer la distance d entre deux points A et B. Pour cela nous disposons d'un bâton d'une longueur d'un mètre. Depuis A jusqu'à B on reporte le bâton cent fois. Nous estimons pour chaque report une incertitude de 1 cm.
Quelle est l'incertitude sur la valeur de d?
Pour le savoir nous avons réalisé une simulation sur Maple. Nous prenons un modèle où, pour simplifier, à chaque report nous tirons à pile ou face une surestimation de 1 cm ou une sousestimation de 1 cm. Nous représentons ici les résultats obtenus pour dix mille mesures de d:

(abscisse: mesure de d en cm, ordonnée: fréquence de cette mesure de d)

S> f:=rand(2);
S> f();
S> k:=10000;
S> Evt:=array(1..201,[201]):
S> for r from 1 to 201 do Evt[r]:=0 od:
S> for j from 1 to k
  > do

 > x:=0;
>  for i from 1 to 100
>  do
>   if f()=0 then x:=x+101
>            else x:=x+99
>   fi:
>  od:
> Evt[x-9899]:=Evt[x-9899]+1;
   > od:
S> coord:=[9900,0],[9900,Evt[1]]:
  > for x from 9902 to 10100
  > do
  > coord:=coord,[x,Evt[x-9900]],[x,Evt[x-9899]]:
  > od:
S> plot([coord],9900..10100);

    Nous avons d=xi (d=x1+x2+...+xi+...+xn), où les xi sont les mesures de longueur pour chaque report de bâton. xi est l'incertitude sur chaque mesure xi. Ici xi=1cm et xi=100 +/- 1 cm. Quelle est alors l'incertitude d?
Spontanément nous pourrions penser que d=xi, d'où ici d=100cm soit 1m pour 100m mesurés de A à B. Mais problème ce n'est absolument pas ce qu'indique la simulation! Elle indique plutôt d 0,1m. En effet un simple calcul de probabilités montre qu'il est extrèmement peu probable d'obtenir, pour d, 99m ou 101m, alors que l'on a une chance sur deux, pour xi, d'avoir 0,99m ou 1,01m. Or nous désirons avoir d à probabilité égale de xi.
En statistique on utilise la formule de propagation des incertitudes:
pour une fonction f qui dépend de variables indépendantes xi, f(x1,x2,...,xi,...,xn), nous avons:
 -> f2=(f/xi . xi)2.  <-


Encore appelée: formule de propagation des erreurs ou des écarts-types. La formule est exacte pour les écarts-types, quelquesoit le type de distributions d'écarts-types finis, dans le cas de variables aléatoires indépendantes et de petites variations. Pour les incertitudes elle n'est plus exacte mais c'est une excellente approximation.

Remarque pour les non initiés aux dérivées partielles: pour les fonctions à plusieurs variables on généralise la notion de dérivée, f/xi est la dérivée partielle de f par rapport à Xi toutes les autres variables étant considérées comme des constantes ( se lit "dé rond"!).
Si f(x,y)=x2-3y+1, f/x=2x et f/y=-3.

Ici d/xi=1 et xi=x, i=1...n, ainsi d=n. x soit d=0,1m, ce qui correspond bien au résultat attendu!
Le résultat précédent d=n. x était faux et provient de la formule trop souvent utilisée: f=|f/xi|. xi, formule d'autant plus fausse que le nombre de variables est grand et les |f/xi|. xi de valeurs proches. Vraie pour des grandeurs non indépendantes, c'est à dire corrélées.

    Un autre exemple: si d = x1 - x2  alors d=(x12+x22). Si x1=x2=1cm avec 90% de confiance alors d=1,4 cm avec 90% de confiance. Si nous avions dit d=2cm nous aurions été à 98% de confiance (convertisseur de confiances sur la page 1 du programme Incertitudes, lien à la fin).

    Sur l'indépendance des variables aléatoires: un voyageur de commerce part de Paris, va à Lyon, puis à Nice et revient pour finir à Lyon. Celui-ci indique que la distance Paris-Lyon est de 465 km et la distance Lyon-Nice de 479 km. Les distances sont estimées à 10 km près. Déterminez la distance Paris-Nice puis celle de l'aller-retour Lyon-Nice.
Réponses: dParis-Nice= 944 +/- 14 km et daller-retour Lyon-Nice= 958 +/- 20 km. En effet dans le deuxième cas il n'y a pas indépendance des variables (c'est la même!), de ce fait il ne peut y avoir compensation alèatoire des erreurs, si dLyon-Nice est, par exemple, surestimée, en multipliant par deux, l'excés le sera aussi. Dans le premier cas il peut arriver qu'une distance soit sous-estimée et l'autre surestimée et il y a ainsi possibilité de compensations.

  Pour des sommes ou des différences les incertitudes absolues au carré s'ajoutent.
Si f=xi alors f2=xi2.
  


Calculatrice: f = a0.x0 + a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + a4.x4 + a5.x5 + a6.x6 + a7.x7 + a8.x8 + a9.x9 f = +/-
a0= a1= a2= a3= a4= a5= a6= a7= a8= a9=
x0= x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7= x8= x9=
x0= x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7= x8= x9=

    Nous avons une somme de carrés de ce fait l'incertitude la plus importante l'emporte rapidement. La grandeur la plus incertaine l'emporte sur le résultat. Si nous ajoutons deux longueurs d'incertitudes 10 cm et 1 cm, l'incertitude de la somme est de 10,05 cm. La deuxième incertitude est ainsi tout à fait négligeable. Pour des facteurs le moins précis l'emporte.  pythagore pour les incertitudes

    Si nous désirons mesurer une résistance R par la mesure de U et I: R=U/I alors R/R=((U/U)2 + (I/I)2). Nous choisirons bien sûr le montage courte ou longue dérivation suivant la valeur attendue de R pour éviter une erreur systématique (on ne considère ici que les erreurs aléatoires de valeur moyenne nulle).
  Pour des produits ou des quotients les incertitudes relatives au carré s'ajoutent.
Si f=xi alors (f/f)2=(xi/xi)2.
  

Calculatrice: f = a.x0a0.x1a1.x2a2.x3a3.x4a4.x5a5.x6a6.x7a7 f = +/-%
a a0= a1= a2= a3= a4= a5= a6= a7=
= x0= x1= x2= x3= x4= x5= x6= x7=
x0/x0= % x1/x1= % x2/x2= % x3/x3= % x4/x4= % x5/x5= % x6/x6= % x7/x7= %
Fonctionnement de la calculatrice:
 Considérons l'exemple de la méthode de Bessel en focomètrie: on mesure D, distance entre l'objet et l'image sur l'écran, et d la distance entre les deux positions de la lentille (convergente) où l'image est nette. Nous avons ensuite la distance focale de la lentille par la relation: f ' = (D2-d2)/4D.
Nous mesurons D= 2000 +/- 10 mm et d= 536 +/- 20 mm. Quelles est alors l'incertitude sur f'?
f'/D=(D2+d2)/4d2 ,  f'/d=-d/2D , f'=(((D2+d2)/4d2)2 .(D)2 + (d/2D)2 .(d)2) et f'= 463,8 +/- 3,8 mm,  f'/f'=0,8%.

Si vous voulez eviter les calculs de dérivées partielles, en page 4 de Incertitudes, jusqu'à 4 variables, les calculs sont automatiques (liens en bas de page).

La mesure expérimentale

Précision: justesse, fidèlité et bonne résolution.

Image des flêches qui visent une cible:
  1. justesse: l'ensemble des flêches sont centrées par rapport au centre de la cible. Si ce n'est pas le cas il y a une erreur systèmatique, un biais.
  2. fidèlité: les flêches sont ressérées, peu de dispersion. La dispersion des valeurs est due à l'erreur aléatoire ou accidentelle.
  3. résolution: d'autant meilleure que la pointe de la flêche est petite. Elle est due à la résolution du système d'acquisition, c'est l'erreur de discrètisation.

Etude d'une variable aléatoire
    Considérons une variable aléatoire X, pour chaque mesure nous avons une réalisation xi de X. Pour un grand nombre n de mesures nous pouvons tracer la fréquence fi (nombre de fois que l'on obtient la même valaur xi) en fonction de xi et nous obtenons généralement une courbe à profil Gaussien, courbe en cloche analogue à celle obtenue avec la simulation sur Maple. Deux grandeurs définissent cette distribution : la valeur moyenne xm=(xi)/n et l'écart-type (correspond à la largeur de la courbe) s=r[(xi-xm)2/(n-1)].
Un cas concret, les fruits d'un arbre sont de tailles diverses, beaucoup ont une grosseur analogue, certains sont plus gros, d'autre plus petits. Nous pouvons mesurer une longueur, une masse, une résistance mécanique, un volume, une couleur ... les caractéristiques sont innombrables. Un grand nombre de facteurs aléatoires vont influer sur ces grandeurs: exposition au Soleil, position dans l'arbre, passage d'un insecte, le vent, la pluie, le terrain... Mesurons la masse de coings, nous comptons le nombre de fruits qui appartiennent à différents intervalles de masse, nous obtenons une courbes en cloche. Cette courbe est-elle universelle? Oui!!
Un phénomène résultant d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes tend vers une loi gaussienne. L'écart-type est une mesure de cette variabilité autour de la valeur moyenne.
Enfin c'est ce que j'ai cru comprendre, pour un grand nombre de mesures, le théorème centrale limite indique une distribution de Gauss avec un écart-type s/rn sur la mesure de la valeur moyenne.
Prenons un exemple:
Coings rammassés au sol après une nuit ventée.
 cagette de coings

Pesées en grammes des 24 coings:
92 126 149 196 168 189
134 106 203 125 106 110
133 145 156 157 117 125
72 137 95 120 139 109

Masse moyenne: 134g
Ecart-type: 33g
 graphe Pour une courbe de Gauss: 68% des mesures sont entre xm-s et xm+s et 95% entre xm-2s et xm+2s. Ainsi si nous effectuons une nouvelle mesure il y a une chance sur 20 quelle soit en dehors de ce dernier intervalle.
La gaussienne correspond à un nombre infini de mesures, pour un nombre fini il faut apporter une correction: il y a un élargissement de l'écart type par un facteur t. Celui-ci tient compte à la fois du nombre de mesures et du pourcentage.
Vous pouvez obtenir les coefficients t de Student sur un tableur:
=LOI.STUDENT.INVERSE((100-p)/100;n-1)  par exemple.
Page 1 de Incertitudes, lien à la fin.

t n=2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 50 infini
90% 6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,73 1,68 1,64
95% 12,7 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,31 2,26 2,09 2,01 1,96
99% 63,6 9,92 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 2,86 2,68 2,58

Pour n mesures il y a p% de chance pour qu'une nouvelle mesure soit entre xm - tn,p.s  et  xm + tn,p .s.
Pour n mesures il y a p% de chance pour que la valeur moyenne des mesures soit entre xm - tn,p .s / rn  et  xm + tn,p .s / rn.

Pour n=24 et une confiance de 95% nous avons t=2,07 , ainsi 95% des valeurs sont entre  65g et 202g et la masse moyenne est de 134 +/- 14g. Pour 90% t=1,71 et si je vais ramasser un nouveau coing il y a 9 chance sur 10 que sa masse soit entre 78 et 190g.

Nous pourrions maintenant peser l'ensemble des 24 coings, supposons que nous trouvions une masse de 3209 +/- 1g. La masse moyenne de ces 24 coings est donc de 133,71+/-0,04g. Ce résultat n'est pas en contradiction avec celui du dessus, 134 +/- 14g c'est l'incertitude sur la masse moyenne, centre de la courbe de Gauss, estimée pour l'ensemble des coings produits par l'arbre, et non pour ces 24 coings en particuliers pésés avec une balance spécifique.

La régression linéaire

Pages 2 et 3 de Incertitudes.

Tableur: Programme Incertitudes 8ème édition (licence libre et gratuite)
Licence GNU GPL: http://www.linux-france.org/article/these/gpl.html